设a、b、c为不全相等的正数,且abc=1.求证：ab+bc+ca>√a+√b+√c.

Question

设a、b、c为不全相等的正数,且abc=1.求证：ab+bc+ca>√a+√b+√c.

Answer 1

∵a、b、c是有序的正数,∴1/√a、1/√b、1/√c也是有序的正数,
由排序不等式：顺序和不小于乱序和,有：
（1/√a）（1/√a）＋（1/√b）（1/√b）＋（1/√c）（1/√c）
≧（1/√a）（1/√b）＋（1/√b）（1/√c）＋（1/√a）（1/√c）,
∴1/a＋1/b＋1/c≧1/√（ab）＋1/√（bc）＋1/√（ac）.
∵abc＝1,∴√（abc）＝1.
∴（abc）/a＋（abc）/b＋（abc）/c
≧√（abc）/√（ab）＋√（abc）/√（bc）＋√（abc）/√（ac）,
∴bc＋ac＋ab≧√c＋√a＋√b.
考虑到a、b、c不全相等,∴ab＋bc＋ac＞√a＋√b＋√c.