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G是△ABC的重心,且√(7)sinA向量GA+3sinB向量GB+3√(7)sinC向量GC=0求B求的是∠B的大小
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G是△ABC的重心,且√(7)sinA 向量GA+3sinB 向量GB+3√(7)sin C向量GC=0求B
求的是∠B的大小
求的是∠B的大小
▼优质解答
答案和解析
先证明一个结论:
G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0点G是三角形ABC的重心
(GA ,GB,GC,0为向量)
取BC中点D,连结并延长GD至E,使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形
∴向量GB=向量CE
∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE
由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG
∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线
而D在GE上,∴A、G、D三点共线
而点D又是BC中点,∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BG是AC边上的中线,CG是AB边上的中线
∴点G是三角形ABC的重心.
本题中:G是三角形ABC的重心,且sinA*向量GA+sinB*向量GB+sinC*向量GC=0,
又因GA+GB+GC=0,所以GA=-GB–GC,
代入得:sinA*(-GB–GC)+sinB*向量GB+sinC*向量GC=0,
(sinB- sinA)*向量GB+(sinC- sinA)*向量GC=0,
因为向量GB,向量GC不共线,所以只有sinB- sinA =0,sinC- sinA=0,
根据正弦定理知:b=a=c,
三角形是等边三角形,
则角B的大小为60°.
G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0点G是三角形ABC的重心
(GA ,GB,GC,0为向量)
取BC中点D,连结并延长GD至E,使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形
∴向量GB=向量CE
∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE
由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG
∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线
而D在GE上,∴A、G、D三点共线
而点D又是BC中点,∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BG是AC边上的中线,CG是AB边上的中线
∴点G是三角形ABC的重心.
本题中:G是三角形ABC的重心,且sinA*向量GA+sinB*向量GB+sinC*向量GC=0,
又因GA+GB+GC=0,所以GA=-GB–GC,
代入得:sinA*(-GB–GC)+sinB*向量GB+sinC*向量GC=0,
(sinB- sinA)*向量GB+(sinC- sinA)*向量GC=0,
因为向量GB,向量GC不共线,所以只有sinB- sinA =0,sinC- sinA=0,
根据正弦定理知:b=a=c,
三角形是等边三角形,
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