问:当M取何值时,直线Y=X+M与椭圆X的2次方/a的2次方+Y的2次方/b的2次方=1有一个交点?有两个交点?无交点?麻烦详细一点

Question

问:当M取何值时,直线Y=X+M与椭圆X的2次方/a的2次方+Y的2次方/b的2次方=1有一个交点?有两个交点?无交点?
麻烦详细一点

Answer 1

y=x+m
代入x²/a²+y²/b²=1
b²x²+a²y²-a²b²=0
所以b²x²+a²(x²+2mx+m²)-a²b²=0
(a²+b²)+2a²mx+(a²m²-a²b²)=0
一个交点即方程有一个解
所以判别式等于0
4a^4m²-4(a²+b²)(a²m²-a²b²)=0
a^4m²-a^4m²+a^4b²-a²b²m²+a²b^4=0
a^4b²-a²b²m²+a²b^4=0
a²-m²+b²=0
m=±√(a²+b²)
有两个交点则方程有两个解
所以判别式大于0
4a^4m²-4(a²+b²)(a²m²-a²b²)>0
a²-m²+b²>0
-√(a²+b²)