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已知正方形ABCD和正方形AEFG,连接CF,P是CF的中点,连接EP、DP.(1)如图1,当点E在边AB上时,试研究线段EP与DP之间的数量关系和位置关系;(2)把(1)中的正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转9
题目详情
已知正方形ABCD和正方形AEFG,连接CF,P是CF的中点,连接EP、DP.
(1)如图1,当点E在边AB上时,试研究线段EP与DP之间的数量关系和位置关系;
(2)把(1)中的正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转90°,试在图2中画出符合题意的图形,并研究这时(1)中的结论是否仍然成立;
(3)把(1)中的正方形AEFG绕点A任意旋转某个角度(如图3),试按题意把图形补画完整,并研究(1)中的结论是否仍然成立.
(1)如图1,当点E在边AB上时,试研究线段EP与DP之间的数量关系和位置关系;
(2)把(1)中的正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转90°,试在图2中画出符合题意的图形,并研究这时(1)中的结论是否仍然成立;
(3)把(1)中的正方形AEFG绕点A任意旋转某个角度(如图3),试按题意把图形补画完整,并研究(1)中的结论是否仍然成立.
▼优质解答
答案和解析
(1)PD=PE 且PD⊥PE.
理由:过P作MN⊥AB,交AB于点M,交CD于点N
∴∠CNM=∠DNP=90°
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴CD=CB,FG=FE.∠CDA=∠CBA=∠FGA=∠FEA=90°
∴EF∥MN∥BC.四边形CNMB是矩形,
∴MN=BC=CD,
∴CF在∠BAD的角平分线上,
∴CF平分∠DCB,
∴∠DCF=∠BCF=45°,
∴∠CPN=45°
∴PN=CN=BM.
∴CD-CN=MN-PN,
∴DN=PM
∵P是CF的中点,
∴FP=CP
∴EM=MB,
∴EM=PN.
在△PME和△DNP中
∴△PME≌△DNP(SAS),
∴PD=PE,∠NDP=∠MPE.
∵∠NDP+∠DPN=90°,
∴∠DPN+∠MPE=90°,
∴∠EPD=90°
∴PD⊥PE;
(2)画出符合题意的图形如图,(1)中的结论仍然成立.
理由如下:
延长EP交DC于点H,
∵P为CF中点,
∴FP=CP,
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴CD=AD,EF=EA,∠ADC=∠AEF=∠FED=90°,
∴EF∥CD,
∴∠EFP=∠HCP.
在△EFP和△CHP中,
,
∴△EFP≌△CHP(ASA)
∴CH=EF,EP=HP,
∴CH=AE,
∴AD-AE=CD-CH,
即DE=DH.
∵PE=PH,∠EDH=90°,
∴DP⊥EH,DP=
EH,
∴DP=PE.
∴推出PD=PE 且PD⊥PE;
(3)图形补画如图,(1)中的结论仍然成立.
理由如下:
延长EP至点K,使得PK=EP,延长FE交AB于R,作FH∥CD交EP于H,连接DE、DK、CK,
∴FH∥CD∥AB,
∴∠DCP=∠PFH,∠HFE=∠ERA.
在△CPK和△FPE中,
,
∴△CPK≌△FPE(SAS),
∴CK=EF=AE,∠CKP=∠FEP,
∴CK∥EF,
∴∠KCP=∠EFP,
∴∠KEP-∠DCP=∠EFP-∠PFH,
即∠KCD=∠EFH.
理由:过P作MN⊥AB,交AB于点M,交CD于点N
∴∠CNM=∠DNP=90°
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴CD=CB,FG=FE.∠CDA=∠CBA=∠FGA=∠FEA=90°
∴EF∥MN∥BC.四边形CNMB是矩形,
∴MN=BC=CD,
∴CF在∠BAD的角平分线上,
∴CF平分∠DCB,
∴∠DCF=∠BCF=45°,
∴∠CPN=45°
∴PN=CN=BM.
∴CD-CN=MN-PN,
∴DN=PM
∵P是CF的中点,
∴FP=CP
∴EM=MB,
∴EM=PN.
在△PME和△DNP中
|
∴△PME≌△DNP(SAS),
∴PD=PE,∠NDP=∠MPE.
∵∠NDP+∠DPN=90°,
∴∠DPN+∠MPE=90°,
∴∠EPD=90°
∴PD⊥PE;
(2)画出符合题意的图形如图,(1)中的结论仍然成立.
理由如下:
延长EP交DC于点H,
∵P为CF中点,
∴FP=CP,
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴CD=AD,EF=EA,∠ADC=∠AEF=∠FED=90°,
∴EF∥CD,
∴∠EFP=∠HCP.
在△EFP和△CHP中,
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∴△EFP≌△CHP(ASA)
∴CH=EF,EP=HP,
∴CH=AE,
∴AD-AE=CD-CH,
即DE=DH.
∵PE=PH,∠EDH=90°,
∴DP⊥EH,DP=
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∴DP=PE.
∴推出PD=PE 且PD⊥PE;
(3)图形补画如图,(1)中的结论仍然成立.
理由如下:
延长EP至点K,使得PK=EP,延长FE交AB于R,作FH∥CD交EP于H,连接DE、DK、CK,
∴FH∥CD∥AB,
∴∠DCP=∠PFH,∠HFE=∠ERA.
在△CPK和△FPE中,
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∴△CPK≌△FPE(SAS),
∴CK=EF=AE,∠CKP=∠FEP,
∴CK∥EF,
∴∠KCP=∠EFP,
∴∠KEP-∠DCP=∠EFP-∠PFH,
即∠KCD=∠EFH.
作业搜用户
2017-10-20
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