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祖暅原理也就是“等积原理”,它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的平面
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▼优质解答
答案和解析
我们先推导半球的体积.为了计算半径为R的半球的体积,我们先观察V圆锥、V半球、V圆柱这三个量(等底等高)之间的不等关系,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754003-9500.jpg)
可以发现V圆锥<V半球<V圆柱,即
πR3<V半球<πR3,根据这一不等关系,我们可以猜测V半球=
πR3,并且由猜测可发现V半球=V圆柱-V圆锥.
下面进一步验证了猜想的可靠性.关键是要构造一个参照体,这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出,如图所示.下面利用祖暅原理证明猜想.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754003-9093.jpg)
证明:用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面.
如果截平面与平面α的距离为l,那么圆面半径r=
,圆环面的大圆半径为R,小圆半径为r.
因此S圆=πr2=π(R2-l2),
S环=πR2-πl2=π(R2-l2),∴S圆=S环.
根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即V半球=πR2×R−
πR2×R=
πR3,
所以V球=
πR3.
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可以发现V圆锥<V半球<V圆柱,即
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下面进一步验证了猜想的可靠性.关键是要构造一个参照体,这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出,如图所示.下面利用祖暅原理证明猜想.
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证明:用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面.
如果截平面与平面α的距离为l,那么圆面半径r=
R2−l2 |
因此S圆=πr2=π(R2-l2),
S环=πR2-πl2=π(R2-l2),∴S圆=S环.
根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即V半球=πR2×R−
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所以V球=
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