求曲面z=√x^2+y^2夹在两曲面x^2+y^2=y,x^2+y^2=2y之间部分的面积!在之间坐标下的图我都画不出来,麻烦高手给画个图,然后把题也解一下,

Question

求曲面z=√x^2+y^2夹在两曲面x^2+y^2=y,x^2+y^2=2y之间部分的面积!
在之间坐标下的图我都画不出来,麻烦高手给画个图,然后把题也解一下,

Answer 1

这个题由于是x^2+y^2=y,x^2+y^2=2y两个圆柱面直接垂直与xoy面去截这个上半部分的圆锥曲面z=√x^2+y^2,所以不需要画图.
由z=√x^2+y^2得
z'(x)=x/√x^2+y^2
z'(y)=y/√x^2+y^2
面积s=∫∫√1+z'(x)^2+z'(y)^2dxdy(积分区域为x^2+y^2=y,x^2+y^2=2y所围成的封闭图形,这个就是要求面积的曲面在底面的投影),要注意的是这里的积分区域可只取右半部分,并且右半部分还要分上下两个部分,上部分为0≤x≤√2y-y^2,1≤y≤2,下部分为√y-y^2≤x≤√2y-y^2.中间的计算过程由于不方便写出所以省略了,不是很复杂就是符号难得打上去,就是勉强打上去估计乱七八糟的也看不明白.我最后算出的结果是3√2/8π,这个结果只是积分区域取右半部分的结果,左半部分和右边是对称的,所以曲面z=√x^2+y^2夹在两曲面x^2+y^2=y,x^2+y^2=2y之间部分的面积=3√2/8π*2=3√2/4π