已知abc是实数,满足如下两个条件:a+b+c=32,(b+c-a)/bc+(c+a-b)/ac+(a+b-c)/ab=1/4,证明以根号a,根号b,根号c为边可构成直角三角形.

Question

已知abc是实数,满足如下两个条件:a+b+c=32,(b+c-a)/bc+(c+a-b)/ac+(a+b-c)/ab=1/4,证明以根号a,根号b,根号c为边可构成直角三角形.

Answer 1

a+b+c=32 （1）
(b+c-a)/bc+(c+a-b)/ac+(a+b-c)/ab=1/4 （2）
（1）乘以（2）
得：(b+c-a)（b+c+a）/bc+(c+a-b)(c+a+b)/ac+(a+b-c)(a+b+c)/ab=8
即：（b+c）^2-a^2/bc+(c+a)^2-b^2/ac+(a+b)^2-c^2/ab=8
（b+c）^2-a^2/bc-4+(c+a)^2-b^2/ac-4+(a+b)^2-c^2/ab=0
（b-c）^2-a^2/bc+(c-a)^2-b^2/ac+(a+b)^2-c^2/ab=0
平方差展开、通分,提取公因式：
（b-c+a）/abc [a(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+b+c)]=0
化简得：
（b-c+a）/abc (c+a-b)(c-a+b)=0
所以b-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0,所以问题得以解决.