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已知二次函数y=ax2-(a+1)x-4(a为常数)(1)已知二次函数y=ax2-(a+1)x-4的图象的顶点在y轴上,求a的值;(2)经探究发现无论a取何值,二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定
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已知二次函数y=ax2-(a+1)x-4(a为常数)
(1)已知二次函数y=ax2-(a+1)x-4的图象的顶点在y轴上,求a的值;
(2)经探究发现无论a取何值,二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点.请求出这两个定点的坐标;
(3)已知关于x的一元二次方程ax2-(a+1)x-4=0的一个根在-1和0之间(不含-1和0),另一个根在2和3之间(不含2和3),试求整数a的值.
(1)已知二次函数y=ax2-(a+1)x-4的图象的顶点在y轴上,求a的值;
(2)经探究发现无论a取何值,二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点.请求出这两个定点的坐标;
(3)已知关于x的一元二次方程ax2-(a+1)x-4=0的一个根在-1和0之间(不含-1和0),另一个根在2和3之间(不含2和3),试求整数a的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵二次函数y=ax2-(a+1)x-4的图象的顶点在y轴上,
∴函数的对称轴为x=0,
∴-
=0,
∴a=-1;(3分)
(2)(法一)∵无论a取何值,二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点.
∴令a=0,a=-1得:
解得:
或
(6分)
∴这两个定点的坐标是(0,-4)或(1,-5).(7分)
(法二)∵y=ax2-(a+1)x-4=(x2-x)a-x-4,
无论a取何值,这个二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点,
∴x2-x=0,
∴
或
(6分)
∴这两个定点的坐标是(0,-4)或(1,-5);(7分)
(3)令f(x)=y=ax2-(a+1)x-4
∵ax2-(a+1)x-4=0在(-1,0)之间有一根
∴f(-1)与f(0)异号
∴f(-1)•f(0))=(2a-3)•(-4)<0…①(8分)
∵ax2-(a+1)x-4=0在(2,3)之间有一根
∴f(2)与f(3)异号
∴f(2)•f(3)=(a-3)•(6a-7)<0…②(9分)
由①②解不等式组
(10分)
解得
<a<3,(11分)
∵a为整数,
∴a=2时,二次方程a=2时,二次方程ax2-(a+1)x-4=0的一根在-1和0之间,另一根在2和3之间.(12分)
∴函数的对称轴为x=0,
∴-
−(a+1) |
2a |
∴a=-1;(3分)
(2)(法一)∵无论a取何值,二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点.
∴令a=0,a=-1得:
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解得:
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∴这两个定点的坐标是(0,-4)或(1,-5).(7分)
(法二)∵y=ax2-(a+1)x-4=(x2-x)a-x-4,
无论a取何值,这个二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点,
∴x2-x=0,
∴
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∴这两个定点的坐标是(0,-4)或(1,-5);(7分)
(3)令f(x)=y=ax2-(a+1)x-4
∵ax2-(a+1)x-4=0在(-1,0)之间有一根
∴f(-1)与f(0)异号
∴f(-1)•f(0))=(2a-3)•(-4)<0…①(8分)
∵ax2-(a+1)x-4=0在(2,3)之间有一根
∴f(2)与f(3)异号
∴f(2)•f(3)=(a-3)•(6a-7)<0…②(9分)
由①②解不等式组
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解得
3 |
2 |
∵a为整数,
∴a=2时,二次方程a=2时,二次方程ax2-(a+1)x-4=0的一根在-1和0之间,另一根在2和3之间.(12分)
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