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如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=3.点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合),将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△A′MN,使顶点A′落在边BC上(A′点和B点不重合).设∠AMN=θ.(Ⅰ)
题目详情
如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=
.点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合),将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△A′MN,使顶点A′落在边BC上(A′点和B点不重合).设∠AMN=θ.
(Ⅰ)用θ表示线段AM的长度,并写出θ的取值范围;
(Ⅱ)求线段A′N长度的最小值.
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(Ⅰ)用θ表示线段AM的长度,并写出θ的取值范围;
(Ⅱ)求线段A′N长度的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(I)易知△AMN≌△A′MN,∴∠A′MA=2θ,
则∠A′MB=180°-2θ,∠BA′M=90°-(180°-2θ)=2θ-90°,
设MA=MA′=x,则MB=1-x,
在Rt△MBA′中,sin(2θ-90°)=-cos2θ=
,
∴MA=x=
=
,
∵点M在线段AB上,M点和B点不重合,A′点和B点不重合,
∴45°<θ<90°;
(II)在△AMN中,由∠AMN=θ,可得∠ANM=
-θ
∴根据正弦定理得:
=
,
∴AN=
令t=2sinθsin(120°-θ)=2sinθ(
sinθ+
cosθ)
=sin2θ+
sinθcosθ=
+
sin2θ-
cos2θ=
+sin(2θ-30°),
∵45°<θ<90°,∴60°<2θ-30°<150°,
当且仅当2θ-30°=90°,θ=60°时,t有最大值
,
则θ=60°时,AN有最小值为
,即线段A′N长度的最小值为
.
则∠A′MB=180°-2θ,∠BA′M=90°-(180°-2θ)=2θ-90°,
设MA=MA′=x,则MB=1-x,
在Rt△MBA′中,sin(2θ-90°)=-cos2θ=
1−x |
x |
∴MA=x=
1 |
1−cos2θ |
1 |
2sin2θ |
∵点M在线段AB上,M点和B点不重合,A′点和B点不重合,
∴45°<θ<90°;
(II)在△AMN中,由∠AMN=θ,可得∠ANM=
2π |
3 |
∴根据正弦定理得:
AN |
sinθ |
MA | ||
sin(
|
∴AN=
1 | ||
2sinθsin(
|
令t=2sinθsin(120°-θ)=2sinθ(
1 |
2 |
| ||
2 |
=sin2θ+
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1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
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1 |
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∵45°<θ<90°,∴60°<2θ-30°<150°,
当且仅当2θ-30°=90°,θ=60°时,t有最大值
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则θ=60°时,AN有最小值为
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