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如何用泰勒展开式证明π/4=lim(1-1/3+1/5-1/7+...-1/(2*i-1)*(-1)^i)?(i->无穷)
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如何用泰勒展开式证明π/4=lim(1-1/3+1/5-1/7+...-1/(2*i-1)*(-1)^i)?(i->无穷)
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答案和解析
利用1/(1+t^2)=1－t^2+t^4－t^6+t^8－t^10+.+(－1)^(n+1)*t^(2n+2)*(1+at^2)^(－n－2),注意余项的绝对值不超过t^(2n+2),其在【0 1】上的积分值不超过1/(2n+3),当n趋于无穷时趋于0,因此得pi/4＝积分（从0到1）1/(1+t^2)dt＝1－1/3+1/5－1/7+...+余项的积分＝lim （1－1/3+1/5－1/7+.）
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