计算∭Ωzdxdydz，其中Ω是由曲面z=x2+y2及平面z=4所围成的有界闭区域．

Question

计算

∭

Ω

zdxdydz，其中Ω是由曲面z=x²+y²及平面z=4所围成的有界闭区域．

Answer 1

由题意 Ω＝{(x，y，z)|(1)/(2)(x2+y2)≤z≤4，(x，y)∈Dxy}，其中Dxy＝{(x，y)|x2+y2≤4}
∴Ω={（ρ，θ，z）|0≤2π，0≤ρ≤2，ρ²≤z≤4}
∴

∭

Ω

zdxdydz=

∭

Ω

zρdρdθdz=

∫

2π  0

dθ

∫

2  0

dρ

∫

4  ρ2

zρdz
=π

∫

2  0

(16ρ−ρ5)dρ=(64)/(3)π．