设二元随机变量（x,y）的密度函数为f（x,y）=20＜x＜1,x＜y＜1求x和y的协方差判断xy的独立性

Question

设二元随机变量（x,y）的密度函数为f（x,y）=2 0＜x＜1,x＜y＜1求x和y的协方差 判断xy的独立性

Answer 1

f（x,y）=2 0＜x＜1, x＜y＜1
画出图形,二维随机变量所在的区域为：y=x,x=0,y=1围成的三角形.
fX(x)=∫(-∞→+∞)f(x,y)dy
=2∫(x→1)dy
=2-2x
fY(y)=∫(-∞→+∞)f(x,y)dx
=2∫(0→y)dx
=2y
EXY=∫∫(-∞→+∞)xyf(x,y)dxdy
=2∫(0→1)dx∫(x→1)xydy
=1/4
EX=∫(0→1)xfX(x)dx=1/3
EY=∫(0→1)yfY(y)dy=2/3
cov(X,Y)=EXY-EXEY=1/4-2/9=1/36
∵EXY≠EXEY(或者f(x,y)≠fX(x)·fY(y))
∴随机变量X,Y不独立