若函数y=f（x）的图象上存在两个点A、B关于原点对称，则称点对[A，B]为y=f（x）的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f（x）=

Question

若函数y=f（x）的图象上存在两个点A、B关于原点对称，则称点对[A，B]为y=f（x）的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f（x）=

2，x<0

-x3+6x2-9x+a，x≥0

恰好有两个“友情点对”，则实数a的值为___．

Answer 1

由题意可知-x³+6x²-9x+a=-2在（0，+∞）上有两解，
即a=x³-6x²+9x-2在（0，+∞）上有两解，
设g（x）=x³-6x²+9x-2，则g′（x）=3x²-12x+9，
令g′（x）=0得x=1或x=3．
∴当0≤x<1时，g′（x）>0，当13时，g′（x）>0，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在[1，3）上单调递减，在[3，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，g（x）取得极大值g（1）=2，当x=3时，g（x）取得极小值g（3）=-2．
作出g（x）的函数图象如图所示：

∵a=x³-6x²+9x-2在（0，+∞）上有两解，
∴a=2．
故答案为2．