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设S={1,2,3,...,280}.求最小的自然数n,使得S的每个有n个元素的子集含有5个两两互素的数.
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设S={1,2,3,...,280}.求最小的自然数n,使得S的每个有n个元素的子集含有5个两两互素的数.
▼优质解答
答案和解析
令Ai={S中一切可被i整除的自然数},i=2,3,5,7.记A=A2∪A3∪A5∪A7,利用容斥原理,容易算出A中元素的个数是216.由于在A中任取5个数必有两个数在同一个Ai之中,从而他们不互素.于是n≥217.
另一方面,令
B1=(1和S中的一切素数}
B2=(22,32,52,72,112,132}
B3={2×131,3×89,5×53,7×37,11×23,13×19}
B4={2×127,3×83,5×47,7×31,11×19,13×17}
B5={2×113,3×79,5×43,7×29,11×17}
B6={2×109,3×73,5×41,7×23,11×13}
易知B1中元素的个数为60.令B=B1∪B2∪B3∪B4∪B5∪B6,则B中元素的个数为88,S-B中元素的个数为192.在S中任取217个数,由于217-192=25>4×6,于是存在i(1≤i≤6),使得这217个数中有5个数在Bi中.显然这5个数是两两互素的,所以n≤217.
于是n=217.
另一方面,令
B1=(1和S中的一切素数}
B2=(22,32,52,72,112,132}
B3={2×131,3×89,5×53,7×37,11×23,13×19}
B4={2×127,3×83,5×47,7×31,11×19,13×17}
B5={2×113,3×79,5×43,7×29,11×17}
B6={2×109,3×73,5×41,7×23,11×13}
易知B1中元素的个数为60.令B=B1∪B2∪B3∪B4∪B5∪B6,则B中元素的个数为88,S-B中元素的个数为192.在S中任取217个数,由于217-192=25>4×6,于是存在i(1≤i≤6),使得这217个数中有5个数在Bi中.显然这5个数是两两互素的,所以n≤217.
于是n=217.
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