如图1，以△ABC的边AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2-3，求O的半

Question

如图1，以△ABC的边AB为直径的 O交边BC于点E，过点E作 O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2-√(3)，求 O的半径和BF的长．

Answer 1

（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
如图1，连接OE，
∵DE是 O的切线，
∴OE⊥DE，
∵ED⊥AC，
∴AC∥OE，
∴∠1=∠C，
∵OB=OE，
∴∠1=∠B，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°-75°-75°=30°，
设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=√(3)x，
∴DG=0E=2x，
根据AC=AB得：4x=√(3)x+2x+2-√(3)，
x=1，
∴0E=OB=2，
在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，
cos30=(OE)/(OF)，OF=(2)/(cos30)=2÷(√(3))/(2)=(4√(3))/(3)，
∴BF=(4√(3))/(3)-2， O的半径为2．