1.求方程组x^3-y^3-z^3=3xyzx^2=2(y+z)的整数解2.解方程组x^2+y^2-xy-3x+3=0x^2+y^2+z^2-xy-yz-2zx+3=0求方程3x^2-4xy+3y^2=35的整数解

Question

1.求方程组 x^3-y^3-z^3=3xyz
x^2=2(y+z) 的整数解
2.解方程组x^2+y^2-xy-3x+3=0
x^2+y^2+z^2-xy-yz-2zx+3=0
求方程 3x^2-4xy+3y^2=35 的整数解

Answer 1

1.x^3-y^3-z^3=3xyz,
x^3-(y+z)^3=3xyz-3yz(y+z),
(x-y-z)[x^2+x(y+z)+(y+z)^2-3yz]=0,
因为x^2+x(y+z)+(y+z)^2-3yz
=x^2+y^2+z^2+xy+xz-yz
=(x+y)^2/2+(x+z)^2/2+(y-z)^2/2=0无正整数解
所以x-y-z=0,x^2=2(y+z),
x^2=2x,x=2.
8-y^3-z^3=6yz,y+z=2,仅有正整数解y=z=1.
所以原方程的正整数解为x=2,y=z=1.
2.由(1)式可得:〔(x/2)2-xy+y2〕+3/4(x2-4x+4)=0.
即(x/2-y)2+3/4(x-2)2=0.
要使上式成立.必须:(x/2-y)2=0.且3/4(x-2)2=0.
因此.解得:x=2.y=1
将x=2.y=1代入(2)式.整理得:
z2-5z+6=0.
即(z-2)(z-3)=0.
∴z1=2.z2=3
∴此方程组的解为:x=2.y=1.z1=2.z2=3
3.3x^2-4xy+3y^2=x^2+y^2+2*(x-y)^2=35
小于35的平方数有1,4,9,16,25
那么35可以表示为
1+16+2*9
这个时候
x=1,y=4或者x=4,y=1