如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．（5−22，0）B．（0，5−2

Question

如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A₁，A₂，B₁，B₂椭圆顶点，F₂为右焦点，延长B₁F₂与A₂B₂交于点P，若∠B₁PA₂为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．（(√(5)−2)/(2)，0）
B．（0，(√(5)−2)/(2)）
C．（0，(√(5)−1)/(2)）
D．（(√(5)−1)/(2)，1）

Answer 1

如图所示，
∠B₁PA₂是

B2A2

与

F2B1

的夹角；
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
则

B2A2

=（a，-b），

F2B1

=（-c，-b）；
∵向量的夹角为钝角时，

B2A2

•

F2B1

＜0，
∴-ac+b²＜0，
又b²=a²-c²，
∴a²-ac-c²＜0；
两边除以a²得1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0；
解得e＜(−1−√(5))/(2)，或e＞(−1+√(5))/(2)；
又∵0＜e＜1，∴(−1+√(5))/(2)＜e＜1；
∴椭圆离心率e的取值范围是（(−1+√(5))/(2)，1）．
故选：D．