已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求同时满足下列条件的所有an的和：①20≤n≤116；②n能够被5整除．

Question

已知各项均为正数的等差数列{a_n}满足：a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求同时满足下列条件的所有a_n的和：①20≤n≤116；②n能够被5整除．

Answer 1

（1）根据题意，等差数列{a_n}中，a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比数列，
即

a1+3d=2(a1+d)

a1•(a1+3d)=16

，
解得a₁=2，d=2；
∴数列{a_n}的通项公式为
a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）∵a_n=2n，
且n同时满足：①20≤n≤116；②n能够被5整除，
∴满足条件的n组成等差数列{b_n}，
且b₁=20，d=5，b_n=115，
∴项数为(115-20)/(5)+1=20；
∴{b_n}的所有项的和为
S₂₀=20×20+(1)/(2)×20×19×5=1350，
∴满足条件的所有a_n的和为
2S₂₀=2×1350=2700．