设A1,A2,...,A6是集合,其中,|A1|=|A2|=|A3|=|A4|=|A5|=|A6|=5.对于任意的i,j,Ai与Aj最多一个公共元素,则A1,A2,...,A6的并至少多少个元素?|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6|>=∑|Ai|-∑|Ai∩Aj|一定成立不?这个我也想到

Question

设A1,A2,...,A6是集合,其中,|A1|=|A2|=|A3|=|A4|=|A5|=|A6|=5.
对于任意的 i,j,Ai 与 Aj 最多一个公共元素,则 A1,A2,...,A6 的并至少多少个元素?
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6|>=∑|Ai|-∑|Ai∩Aj| 一定成立不?
这个我也想到了,不知道是否一定成立.
能否给这个成立的证明

Answer 1

容斥原理
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6|>=∑|Ai|-∑|Ai∩Aj|>=30－C(2,6)=15
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6|>=∑|Ai|-∑|Ai∩Aj|
的证明
如果x只在A1中
在左边被算1次
在右边∑|Ai|中被算1次
如果x在A1,A2,……,Ak中(k>=2)
左边算1次
右边算k－C(2,k)