如图所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化，B=B0-kt（k为大于0的常数）．现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内．

Question

如图所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化，B=B₀-kt（k为大于0的常数）．现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内．圆环的半径为R，电阻为r，相交点的电接触良好．两个环的接触点A与C间的劣弧对圆心O的张角为60°．求t=t₀时，每个环所受的均匀磁场的作用力，不考虑感应电流之间的作用．

Answer 1

1．求网络各支路的电流．
因磁感应强度大小随时间减少，考虑到电路的对称性，可设两环各支路的感应电流I₁、I₂的方向如图1所示，对左环电路ADCFA，有关系：

ε=I₁r_CFA+I₂r_ADC
因rCFA＝(5r)/(6)，rADC＝(r)/(6)，ε=KπR²
故：KπR2＝I1(5r)/(6)+I2(r)/(6)…①
因回路ADCEA所围的面积为2((2π−3√(3))/(12))R2故对该回路有K(2((2π−3√(3))/(12))R2)＝2I2(r)/(6)…②
解得：I2＝((2π−3√(3))R2)/(2r)K…③
代入（1）式，得：I1＝((10π+3√(3))R2)/(10r)K…④2．求每个圆环所受的力．
先求左环所受的力，如图2所示，将圆环分割成很多小圆弧，由左手定则可知，每段圆弧所受的力的方向均为径向，根据对称性分析，

因圆弧PMA与圆弧CNQ中的电流方向相反，所以在磁场中受的安培力相互抵消，而弧PQ与弧AC的电流相对x轴上下是对称的，因而每段载流导体所受的安培力在y方向的合力为零，以载流导体弧PQ上的线段△l'为例，安培力△F为径向，其x分量的大小表示为：
|△F_x|=I₁B△l'cosα…⑤
因△l'cosα=△l  故：|△F_x|=I₁B△l
|Fx|＝∑I1B△l＝I1B

.

PQ

＝I1BR…⑥
由于导体弧PQ在y方向的合力为零，所以在t₀时刻所受安培力的合力F₁仅有x分量，即

F1＝|Fx|＝I1BR

    ＝[((10π+3√(3))R2)/(10r)K]BR

=[((10π+3√(3))R2)/(10r)K](B0−Kt0)R…⑦
方向向左；
同理，载流导体弧AC在t₀时刻所受的安培力为：
F2＝I2BR＝[((2π−3√(3))R2)/(2r)K]BR=[((2π−3√(3))R2)/(2r)K](B0−Kt0)R…⑧
方向向右；
左环所受的合力大小为：F＝F1−F2＝(9√(3))/(5r)K(B0−Kt0)R3，方向向左．
答：每个环所受的磁场的作用力大小为F＝F1−F2＝(9√(3))/(5r)K(B0−Kt0)R3．