设四元齐次方程组（Ⅰ）为2x1+3x2−x3＝0x1+2x2+x3−x4＝0，且已知另一四元齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为α1=（2，-1，a+2，1）T，α2=（-1，2，4，a+8）T．（1）求方程组（Ⅰ）的一个基

Question

设四元齐次方程组（Ⅰ）为

2x1+3x2−x3＝0

x1+2x2+x3−x4＝0

，且已知另一四元齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为

α1

=（2，-1，a+2，1）^T，

α2

=（-1，2，4，a+8）^T．
（1）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系；
（2）当a为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解．

Answer 1

【解法1】
（1）
对方程组（I）的系数矩阵作初等行变换，可得：
A=

2	3	−1	0
1	2	1	−1

→

1	0	−5	3
0	1	3	−2

，
所以方程组（I）的一个基础解系为：
β₁=（5，-3，1，0）^T，β₂=（-3，2，0，1）^T．

（2）
由题设条件，方程组（II）的全部解为：

x1

x2

x3

x4

=k₁α₁+k₂α₂=

2k1−k2

−k1+2k2

(a+2)k1+4k2

k1+(a+8)k2

，（k₁，k₂为任意常数）．①
将上式代入方程组（I）可得，

(a+1)k1＝0

(a+1)k1−(a+1)k2＝0

，②
要使得方程组（I）（II）有非零公共解，
只需关于k₁，k₂的方程组②有非零解，
因为：

.

a+1	0
a+1	−(a+1)

.

＝−(a+1)2，
所以，
当a≠-1时，方程组（I）与（II）无非零公共解，
当a=-1时，方程组②有非零解，且k₁，k₂为不全为零的任意常数，
此时，由①可得方程组（I）与（II）全部为零公共解为：

x1

x2

x3

x4

=k1

2

−1

1

1

+k2

−1

2

4

7

，（k₁，k₂为不全为零的任意常数）．

【解法2】
（1）
对方程组（I）的系数矩阵作初等行变换，可得：
A=

2	3	−1	0
1	2	1	−1

→

−2	−3	1	0
−3	−5	0	1

，
故方程组（I）的同解方程组为：

x3＝2x1+3x2

x4＝3x1+5x2

由此可得方程组（I）的一个基础解系为：
β₁=（1，0，2，3）^T，β₂=（0，1，3，5）^T．

（2）
设方程组（I）与（II）的公共解为η，则有k₁，k₂，k₃，k₄，使得：
η=k₁β₁+k₂β₂=k₃α₁+k₄α₂，
由得到线性方程组：
（III）

−k1+2k3−k4＝0

−k2−k3+2k4＝0

−2k1−3k2+(a+2)k3+4k4＝0

−3k1−5k2+k3+(a+8)k4＝0

，
对方程组（III）的系数矩阵作初等行变换，有：

−1	0	2	−1
0	−1	−1	2
2	3	a+2	4
−3	−5	1	a+8

→

1	0	−2	1
0	1	1	−2
0	0	a+1	0
0	0	0	a+1

．
由此可知，
当a≠-1时，方程组（III）仅有零解，
故方程组（I）与（II）无非零公共解．
当a=-1时，方程组（III）的同解方程组为：

k1＝2k3−k4

k2＝−k3+2k4

令：k₃=c₁，k₄=c₂可得：
方程组（I）与（II）的公共非零解为：

x1

x2

x3

x4

=c1

2

−1

1

1

+k2

−1

2

4

7

，（c₁，c₂为不全为零的任意常数）．