如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于H．（1）若E是BC的中点，求证：DE=CF；（2）若∠CDE=30°，求HGGF的值．

Question

如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于H．

（1）若E是BC的中点，求证：DE=CF；
（2）若∠CDE=30°，求(HG)/(GF)的值．

Answer 1

（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，
∴BF=CE，
在△BCF和△CDE中，

BC=CD

∠CBF=∠DCE=90°

BF=CE

，
∴△BCF≌△CDE（SAS），
∴DE=CF；

（2） 设CE=x，∵∠CDE=30°，
∴tan∠CDE=(x)/(CD)=(√(3))/(3)，
∴CD=√(3)x，
∵正方形ABCD的边BC=CD，
∴BE=BC-CE=√(3)x-x，
∵正方形BFGE的边长BF=BE，
∴tan∠BCF=(BF)/(BC)=(√(3)x-x)/(√(3)x)=(3-√(3))/(3)，
∵正方形BGFE对边BC∥GF，
∴∠BCF=∠GFH，
∵tan∠GFH=(HG)/(GF)，
∴(HG)/(GF)=(3-√(3))/(3)．