为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动．对于A，B两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A，若绿灯闪亮，获得50分

Question

为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动．对于A，B两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分，绿灯闪亮的概率为(1)/(2)；玩一次游戏B，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分（即获得-20分），出现音乐的概率为(2)/(5)．玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品．
（1）记X为玩游戏A和B各一次所得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）记某人玩5次游戏B，求该人能兑换奖品的概率．

Answer 1

（1）随机变量X的所有可能取值为110，50，30，-30，分别对应以下四种情况：
①玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，出现音乐；
②玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，出现音乐；
③玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐；
④玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐，
所以P(X=110)=(1)/(2)×(2)/(5)=(1)/(5)，
P(X=50)=(1-(1)/(2))×(2)/(5)=(1)/(5)，
P(X=30)=(1)/(2)×(1-(2)/(5))=(3)/(10)，
P(X=-30)=(1-(1)/(2))×(1-(2)/(5))=(3)/(10)，
即X的分布列为：

X	110	50	30	-30
P	(1)/(5)	(1)/(5)	(3)/(10)	(3)/(10)

数学期望为EX=110×(1)/(5)+50×(1)/(5)+30×(3)/(10)-30×(3)/(10)=32；
（2）设某人玩5次游戏B的过程中，出现音乐n次，则没出现音乐5-n次，
依题意得60n-20（5-n）≥130，
解得n≥(23)/(8)，
所以n=3或4或5；
设“某人玩5次游戏B能兑换奖品”为事件M，
则P(M)=

C

3 5

×((2)/(5))3×((3)/(5))2+

C

4 5

×((2)/(5))4×(3)/(5)+((2)/(5))5=(992)/(3125)．