设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1，an+1=SnSn+1（n∈N*）．（1）求证数列{1Sn}为等差数列，并求Sn；（2）求数列{1an+1}的前n项和．

Question

设 S_n是数列 {a_n}的前 n 项和，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1（n∈N^*）．
（1）求证数列{(1)/(Sn)}为等差数列，并求S_n；
（2）求数列{(1)/(an+1)}的前n项和．

Answer 1

（1） ∵an+1=SnSn+1(n∈N*)，∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，∴(1)/(Sn+1)-(1)/(Sn)=-1，
∴数列{(1)/(Sn)}为等差数列，公差为1．
∴(1)/(Sn)=-1-（n-1）=-n．
∴S_n=-(1)/(n)．
（2） 由（1）可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(1)/(n-1)-(1)/(n)，
∴(1)/(an+1)=(1)/(n)-(1)/(n+1)．
∴数列{(1)/(an+1)}的前n项和=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+…+((1)/(n)-(1)/(n+1))
=1-(1)/(n+1)
=(n)/(n+1)．