如何理解扇形弧长和面积的关系?扇形的面积一定时,若要扇形的周长最小,则圆心角为多少弧度?

Question

如何理解扇形弧长和面积的关系?
扇形的面积一定时,若要扇形的周长最小,则圆心角为多少弧度?

Answer 1

设扇形的圆半径为R,圆心角是 α,弧长为 x ,周长为 L ,面积为 s .
弧长 x = Rα
周长 L = Rα + 2R
α = (L - 2R) / R
面积
s = αR²/2
= (L - 2R)R / 2 (1)
在（1）式中,当 L - 2R = R ,s 最大.
所以 面积一定时,L最小 = 3R
这时,α = 1 弧度.