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已知圆心在第二象限内,半径为25的圆O1与x轴交于(-5,0)和(3,0)两点.(1)求圆O1的方程;(2)求圆O1的过点A(1,6)的切线方程;(3)已知点N(9,2)在(2)中的切线上,过点A作O1N
题目详情
已知圆心在第二象限内,半径为2
的圆O1与x轴交于(-5,0)和(3,0)两点.
(1)求圆O1的方程;
(2)求圆O1的过点A(1,6)的切线方程;
(3)已知点N(9,2)在(2)中的切线上,过点A作O1N的垂线,垂足为M,点H为线段AM上异于两个端点的动点,以点H为中点的弦与圆交于点B,C,过B,C两点分别作圆的切线,两切线交于点P,求直线PO1的斜率与直线PN的斜率之积.
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(1)求圆O1的方程;
(2)求圆O1的过点A(1,6)的切线方程;
(3)已知点N(9,2)在(2)中的切线上,过点A作O1N的垂线,垂足为M,点H为线段AM上异于两个端点的动点,以点H为中点的弦与圆交于点B,C,过B,C两点分别作圆的切线,两切线交于点P,求直线PO1的斜率与直线PN的斜率之积.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题知圆与x轴交于(-5,0)和(3,0),
所以圆心可设为(-1,a),又半径为2
,
则(3+1)2+b2=20,得b=2(-2舍),
所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.…(4分)
(2)由题知,点A(1,6)在圆上,
所以(1+1)x+(6-2)(y-2)=20,
所以圆的过A点的切线方程为:x+2y=13.…(8分)
(3)由题知,P,B,O1,C四点共圆,
设点P坐标为(a,b),
则P,B,O1,C四点所在圆的方程为(x+1)(x-a)+(y-2)(y-b)=0,…(10分)
与圆(x+1)2+(y-2)2=20联立,
得直线BC的方程为(1+a)x+(b-2)y+a-2b-15=0,…(12分)
又直线AM的方程为x=1,联立两直线方程,
H点(1,
),
所以kPO1=kHO1=
=
,
又kPN=
,
所以kPO1•kPN=−1.…(16分)
所以圆心可设为(-1,a),又半径为2
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则(3+1)2+b2=20,得b=2(-2舍),
所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.…(4分)
(2)由题知,点A(1,6)在圆上,
所以(1+1)x+(6-2)(y-2)=20,
所以圆的过A点的切线方程为:x+2y=13.…(8分)
(3)由题知,P,B,O1,C四点共圆,
设点P坐标为(a,b),
则P,B,O1,C四点所在圆的方程为(x+1)(x-a)+(y-2)(y-b)=0,…(10分)
与圆(x+1)2+(y-2)2=20联立,
得直线BC的方程为(1+a)x+(b-2)y+a-2b-15=0,…(12分)
又直线AM的方程为x=1,联立两直线方程,
H点(1,
14+2b−2a |
b−2 |
所以kPO1=kHO1=
| ||
2 |
9−a |
b−2 |
又kPN=
b−2 |
a−9 |
所以kPO1•kPN=−1.…(16分)
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