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(2014•呼和浩特)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.(1)求证:∠ACM=∠ABC;(2)延长BC到D,使BC=CD,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为3,ED=2,求△ACE的外接圆的半
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/359b033b5bb5c9ea6dc2ea52d639b6003af3b34a.jpg)
(1)求证:∠ACM=∠ABC;
(2)延长BC到D,使BC=CD,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为3,ED=2,求△ACE的外接圆的半径.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图,连接OC,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5ab5c9ea15ce36d3af356a8139f33a87e950b14a.jpg)
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
又∵CM是⊙O的切线,
∴OC⊥CM,
∴∠ACM+∠ACO=90°,
∵CO=AO,
∴∠BAC=∠ACO,
∴∠ACM=∠ABC;
(2)∵BC=CD,
∴OC∥AD,
又∵OC⊥CE,
∴AD⊥CE,
∴△AEC是直角三角形,
∴△AEC的外接圆的直径是AC,
又∵∠ABC+∠BAC=90°,∠ACM+∠ECD=90°,
∴△ABC∽△CDE,
∴
=
,
⊙O的半径为3,
∴AB=6,
∴
=
,
∴BC2=12,
∴BC=2
,
∴AC=
=2
,
∴△AEC的外接圆的半径为
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5ab5c9ea15ce36d3af356a8139f33a87e950b14a.jpg)
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
又∵CM是⊙O的切线,
∴OC⊥CM,
∴∠ACM+∠ACO=90°,
∵CO=AO,
∴∠BAC=∠ACO,
∴∠ACM=∠ABC;
(2)∵BC=CD,
∴OC∥AD,
又∵OC⊥CE,
∴AD⊥CE,
∴△AEC是直角三角形,
∴△AEC的外接圆的直径是AC,
又∵∠ABC+∠BAC=90°,∠ACM+∠ECD=90°,
∴△ABC∽△CDE,
∴
AB |
CD |
BC |
ED |
⊙O的半径为3,
∴AB=6,
∴
6 |
CD |
BC |
2 |
∴BC2=12,
∴BC=2
3 |
∴AC=
36−12 |
6 |
∴△AEC的外接圆的半径为
6 |
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