如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,且60°＜a＜120°,P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°-a1]用含a的代数式表示角APC2]求证∠BAP=∠PCB3求∠PBC的度数

Question

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,且60°＜a＜120°,P为△ABC内部一点,且PC
=AC,∠PCA=120°-a
1]用含a的代数式表示角APC
2]求证∠BAP=∠PCB
3】求∠PBC的度数

Answer 1

在△ABC内取点D,使得PD//BC且BP=CD,连结AD
则易知四边形BCDP是等腰梯形
有∠PBC=∠DCB
因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB
则∠ABP=∠ACD
所以△ABP≌△ACD (SAS)
则AP=AD且∠BAP=∠CAD
在△ACP中,PC=AC,∠PCA=120°-a
则∠APC=∠PAC=(180°-∠PCA)/2=[180°-(120°-a)]/2=30°+a/2
又∠BAC=a,则∠BAP=∠BAC-∠PAC=a-(30°+a/2)=a-30°
所以∠PAD=∠BAC-∠BAP-∠CAD=a-2(a-30°)=60°
因为AP=AD,所以△PAD是等边三角形
则PD=AD
所以△PCD≌△ACD (SSS)
则∠PCD=∠ACD=∠PCA/2=60°-a/2
又∠BCA=∠CBA=(180°-∠BAC)/2=90°-a/2
则∠BCD=∠BCA-∠ACD=90°-a/2 -(60°-a/2)=30°
所以∠PBC=∠BCD=30°