已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，若轴上一点满足，求直线的斜率的值.

Question

已知椭圆 上的点 到左右两焦点 的距离之和为 ，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点 的直线 交椭圆于 两点，若 轴上一点 满足 ，求直线 的斜率 的值.

Answer 1

已知椭圆 上的点 到左右两焦点 的距离之和为 ，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点 的直线 交椭圆于 两点，若 轴上一点 满足 ，求直线 的斜率 的值.

（1） ；（2） ．

试题分析：（1）根据 与离心率可求得a，b，c的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程 ，并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决．
试题解析：（1） ，∴ ，
，∴ ，∴ ，
椭圆的标准方程为 ．
（2）已知 ,设直线的方程为 ， -，
联立直线与椭圆的方程 ，化简得： ，
∴ ， ，
∴ 的中点坐标为 ．
①当 时， 的中垂线方程为 ，
∵ ，∴点 在 的中垂线上，将点 的坐标代入直线方程得：
，即 ，
解得 或  ．
②当 时， 的中垂线方程为 ，满足题意，
∴斜率 的取值为 .