已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S(0，−13)的动直线l交椭圆C于A、B两点

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S(0，−(1)/(3))的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，得b=c，
又斜边长为2，即2c=2，解得c=1，故a＝√(2)c＝√(2)，
所以椭圆方程为(x2)/(2)+y2＝1．
（Ⅱ）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+(1)/(3))2＝(16)/(9)；
当l为y轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1，
由

x2+(y+(1)/(3))2＝(16)/(9)

x2+y2＝1

⇒

x＝0

y＝1

，
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q（0，1）．
下证明Q（0，1）为所求：
若直线l斜率不存在，上述已经证明．
设直线l：y＝kx−(1)/(3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由

y＝kx−(1)/(3)

x2+2y2−2＝0

⇒(9+18k2)x2−12kx−16＝0，△＝144k2+64(9+18k2)＞0，
x1+x2＝(12k)/(18k2+9)，x1x2＝(−16)/(18k2+9)，

QA

＝(x1，y1−1)，

QB

＝(x2，y2−1)，

QA

•

QB

＝x1x2+(y1−1)(y2−1)＝(1+k2)x1x2−(4k)/(3)(x1+x2)+(16)/(9)
=(1+k2)(−16)/(9+18k2)−(4k)/(3)•(12k)/(9+18k2)+(16)/(9)＝0，
∴

QA

⊥

QB

，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1）．