已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．（1）求k的取值范围：（2）若x1x2+y1y2=12，求|MN|．

Question

已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆（x-2）²+（y-3）²=1交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求k的取值范围：
（2）若x₁x₂+y₁y₂=12，求|MN|．

Answer 1

（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由(|2k-3+1|)/(√(k2+1))=1，解得：k₁=(4-√(7))/(3)，k₂=(4+√(7))/(3)．
故当(4-√(7))/(3)<k<(4+√(7))/(3)，过点A（0，1）的直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
（2）设M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得 （1+k²）x²-4（k+1）x+7=0，
∴x₁+x₂=(4(1+k))/(1+k2)，x₁•x₂=(7)/(1+k2)，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=(7)/(1+k2)•k²+k•(4(1+k))/(1+k2)+1=(12k2+4k+1)/(1+k2)，
由x₁•x₂+y₁•y₂=(7)/(1+k2)+(12k2+4k+1)/(1+k2)=12，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
∴|MN|=2．