如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，AA1=AB=2．（1）求证：BC⊥平面A1AC；（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值；（3）当三棱锥A1-ABC的体积取

Question

如图所示，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，AA₁=AB=2．
（1）求证：BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值；
（3）当三棱锥A₁-ABC的体积取到最大值时，求直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC，…（1分）
∵AA₁⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA₁⊥BC，…（2分）
∵AA₁∩AC=A，AA₁⊂平面AA₁ C，AC⊂平面AA₁ C，
∴BC⊥平面AA₁C．…（4分）
（2）设AC=x，在Rt△ABC中，BC＝√(AB2−AC2)＝√(4−x2)（0＜x＜2），…（5分）
∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁是三棱锥A₁-ABC的高
因此，三棱锥A₁-ABC的体积为
VA1−ABC＝(1)/(3)S△ABC•AA1=(1)/(3)•(1)/(2)•AC•BC•AA1＝(1)/(3)x√(4−x2)（0＜x＜2），…（6分）
而VA1−ABC＝(1)/(3)x√(4−x2)＝(1)/(3)√(x2(4−x2))＝(1)/(3)√(−(x2−2)2+4)．
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，
∴当x²=2，即x＝√(2)时，三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为(2)/(3)．…（8分）
（3）由（2）可得，三棱锥A₁-ABC的体积取到最大值时，AC=BC=√(2)，△ABC是等腰直角三角形
过点A作AH⊥A₁C，连接HB，
∵BC⊥平面AA₁C，BC⊂平面A₁BC，∴平面A₁BC⊥平面AA₁C，
∵平面A₁BC∩平面AA₁C=A₁C，AH⊥A₁C，AH⊂平面AA₁C
∴AH⊥平面A₁BC，可得BH是AH是AB在平面内的射影
因此，∠ABH为直线AB与平面A₁BC所成的角．
∵Rt△AA₁C中，AA₁=2，AC=√(2)，∴AH=(AA1•AC)/(A1C)=(AA1•AC)/(√(AA12+AC2))=(2√(3))/(3)
所以Rt△ABH中，sin∠ABH=(AH)/(AB)=((2√(3))/(3))/(2)=(√(3))/(3)，即直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值为(√(3))/(3)…（12分）