已知函数f（x）=alnx+bx2在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0（Ⅰ）（ⅰ）求f（x）的表达式；（ⅱ）对于函数y=ex，曲线y=ex在与坐标轴交点处的切线方程为y=x+1，由于曲线y=ex在切线y=x+1的上

Question

已知函数f（x）=alnx+bx²在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0
（Ⅰ）（ⅰ）求f（x）的表达式；
（ⅱ）对于函数y=e^x，曲线y=e^x在与坐标轴交点处的切线方程为y=x+1，由于曲线y=e^x在切线y=x+1的上方，故有不等式e^x≥x+1．类比上述推理，对于函数f（x），直接写出一个相类似的结论（不需证明）．
（ II）若f（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）是g（x）的一个“上界函数”，如果函数f（x）为g（x）=(t)/(x)-lnx（t∈R）的一个“上界函数”，求t的取值范围；
（Ⅲ）当m＞0时，讨论F（x）=f（x）+(x2)/(2)−(m2+1)/(m)x在区间（0，2）上极值点的个数．

Answer 1

（ I）（ⅰ）因为f′(x)＝(a)/(x)+2bx，且切点为（1，b），所以切线方程为y=（a+2b）（x-1）+b，
因为切线为y=x-1，所以a=1，b=0，∴f（x）=lnx…（3分）
（ⅱ）对于函数f（x）=lnx，有不等式lnx≤x-1成立．…（6分）
（ II）因为f（x）≥g（x）恒成立即2lnx−(t)/(x)≥0恒成立，所以 t≤2xlnx恒成立
令h（x）=2xlnx，∴h′（x）=2lnx+2函数递减区间为(0，(1)/(e))，递增区间为((1)/(e)，+∞)
所以h(x)min＝h((1)/(e))＝−(2)/(e)，故t≤−(2)/(e)…（10分）
（Ⅲ）F′(x)＝(1)/(x)+x−(m2+1)/(m)＝(mx2−(m2+1)x+m)/(mx)＝((mx−1)(x−m))/(mx)
当(1)/(2)＜m＜1或1＜m＜2时，F（x）在（0，2）上有一个极大值点和一个极小值点…（12分）
当0＜m≤(1)/(2)或m≥2时，F（x）在（0，2）上有一个极大值点，无极小值点…（14分）