如图所示的空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，边界AD与边界AC的夹角为30°，边界AD与边界EF平行，边界AC与边界MN平行，Ⅰ区域内存在匀强电场，电场方向垂直于边界AD，Ⅱ、Ⅲ区域均存在磁感应

Question

如图所示的空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，边界AD与边界AC的夹角为30°，边界AD与边界EF平行，边界AC与边界MN平行，Ⅰ区域内存在匀强电场，电场方向垂直于边界AD，Ⅱ、Ⅲ区域均存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向分别为垂直纸面向外和垂直纸面向里，Ⅲ区域宽度为2d．大量质量为m、电荷量为+q的相同粒子在边界EF上的不同点由静止经电场加速后，到达边界AD时的速度大小均为(2qBd)/(m)，然后，沿纸面经边界AD进入Ⅱ区域磁场．不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用力．试问：
（1）边界EF与边界AD间的电势差；
（2）边界AD上哪个范围内进入Ⅱ区域磁场的粒子，都能够进入Ⅲ区域的磁场？
（3）对于能够进入Ⅲ区域的这些粒子而言，它们通过Ⅲ区域所用的时间不尽相同，那么通过Ⅲ区域的最短时间是多少．

Answer 1

（1）设边界EF与AD之间的电势差为U，由动能定理得：
qU＝(1)/(2)mv2
整理得：U＝(2qB2d2)/(m)
（2）如图所示，设粒子在区域Ⅱ中做圆周运动的半径为r，则：qvB＝(mv2)/(r)
解得：r=2d
设边界AD上在PA之间的粒子都能够进入Ⅲ区域，则Q点位粒子的运动轨迹跟边界AC的切点，设P到A的距离是x，由几何关系得：
（x+r）sin30°=r
所以：x=2d
（3）设粒子在区域Ⅲ中做圆周运动的半径是r′，则：
qvB＝(mv2)/(r′)
得：r′=2d
分析可知，粒子在Ⅲ区域运动时间最短时其运动的轨迹对的弦长应该是磁场宽度的2d，如右图所示，
设圆弧对应的圆心角为θ，由几何关系知：
sin(θ)/(2)＝(d)/(r′)
设粒子在区域Ⅲ中做圆周运动的周期为：T，运动的最短时间为：t，则：
T＝(2πm)/(qB)
t＝(θ)/(360°)T=(πm)/(3qB)
答：（1）边界EF与边界AD间的电势差U＝(2qB2d2)/(m)；
（2）边界AD上到A的距离小于2d的范围内进入Ⅱ区域磁场的粒子，都能够进入Ⅲ区域的磁场；
（3）那么通过Ⅲ区域的最短时间是(πm)/(3qB)．