任意十个连续的自然数,求证其中至少有一个与其余九个互质

Question

任意十个连续的自然数,求证其中至少有一个与其余九个互质

Answer 1

设这个连续的十个自然数列为:K=(a,a+1,a+2.a+9)!
设：
a>11,且能被自然数x整除.
那么K/x=[a/x,(a+1)/x,(a+2)/x.(a+9)/x]
=a/x,(a/x+1/x),(a/x+2/x).(a/x+9/x)
∵a被x整除,显然x为任何数,K/x都出现非整数.
∴K存在质数.
∵a>11
∴K中的质数在十个连续自然数内不可能出现自身的倍数.
即K中的质数必与其他九个数互质.
设：
a