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(1)已知z1,z2是两个虚数,并且z1+z2与z1z2均为实数,求证:z1,z2是共轭复数(2)求证:无论θ为何值,方程x2-(tanθ+i)x-(i+2)=0都不可能有纯虚数根.
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(1)已知z1,z2是两个虚数,并且z1+z2与z1z2均为实数,求证:z1,z2是共轭复数
(2)求证:无论θ为何值,方程x2-(tanθ+i)x-(i+2)=0都不可能有纯虚数根.
(2)求证:无论θ为何值,方程x2-(tanθ+i)x-(i+2)=0都不可能有纯虚数根.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),且b,d≠0,
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i为实数,可得b+d=0.
由z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i为实数,可得bc+ad=0,
把d=-b代入上式可得:b(c-a)=0,
∵b≠0,∴c=a.∴z1,z2是共轭复数.
(2)假设此方程有纯虚数根bi(b∈R且b≠0),代入可得:(bi)2-(tanθ+i)bi-(i+2)=0,化为(b2-b+2)+(btanθ+1)i=0,
∵b2-b+2=(b-
)2+
>0,因此b2-b+2=0无实数根,这与假设矛盾,
∴假设不成立,
因此原命题成立.
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i为实数,可得b+d=0.
由z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i为实数,可得bc+ad=0,
把d=-b代入上式可得:b(c-a)=0,
∵b≠0,∴c=a.∴z1,z2是共轭复数.
(2)假设此方程有纯虚数根bi(b∈R且b≠0),代入可得:(bi)2-(tanθ+i)bi-(i+2)=0,化为(b2-b+2)+(btanθ+1)i=0,
∵b2-b+2=(b-
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∴假设不成立,
因此原命题成立.
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