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已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方形.E是侧棱PC上的动点.(Ⅰ)求证:BD⊥AE(Ⅱ)若E为PC的中点,求直线BE与平面PBD所
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已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方形.E是侧棱PC上的动点.
(Ⅰ)求证:BD⊥AE
(Ⅱ)若E为PC的中点,求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若五点A,B,C,D,P在同一球面上,求该球的体积.
(Ⅰ)求证:BD⊥AE
(Ⅱ)若E为PC的中点,求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若五点A,B,C,D,P在同一球面上,求该球的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:由已知PC⊥BC,PC⊥DC⇒PC⊥面ABCD
∵BD⊂面ABCD⇒BD⊥PC,
又因为BD⊥AC,∴BD⊥面PAC,
又∵AE⊂面PAC,∴BD⊥AE.
(Ⅱ)解;连AC交BD于点O,连PO,
由(1)知BD⊥面PAC,⇒面BED⊥面PAC,过点E作EH⊥PO于H,则EH⊥面PBD,
∴∠EBH为BE与平面PBD所成的角.
∵,,
则.
(Ⅲ)以正方形ABCD为底面,PC为高补成长方体,此时对角线PA的长为球的直径,
∴,
.
∵BD⊂面ABCD⇒BD⊥PC,
又因为BD⊥AC,∴BD⊥面PAC,
又∵AE⊂面PAC,∴BD⊥AE.
(Ⅱ)解;连AC交BD于点O,连PO,
由(1)知BD⊥面PAC,⇒面BED⊥面PAC,过点E作EH⊥PO于H,则EH⊥面PBD,
∴∠EBH为BE与平面PBD所成的角.
∵,,
则.
(Ⅲ)以正方形ABCD为底面,PC为高补成长方体,此时对角线PA的长为球的直径,
∴,
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