已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),与直线x+y-1=0相交于A,B两点,且OA⊥OB,为坐标原点.(Ⅰ)求1a2+1b2的值;(Ⅱ)若椭圆长轴长的取值范围是[5,6],求椭圆离心率的取值范围.
已知椭圆+=1(a>b>0),与直线x+y-1=0相交于A,B两点,且OA⊥OB,为坐标原点.
(Ⅰ)求+的值;
(Ⅱ)若椭圆长轴长的取值范围是[,],求椭圆离心率的取值范围.
答案和解析
(Ⅰ)将x+y-1=0代入椭圆方程整理得(a
2+b
2)x
2-2a
2x+a
2(1-b
2)=0(﹡)
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
则
x1+x2=,x1x2=,
而y1y2=(1−x1)(1−x2)=.(3分)
又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0∴+=0∴a2+b2=2a2b2,∴+=2①
经验证,此时方程(﹡)有解,∴+=2(7分)
(Ⅱ)将b2=a2−c2,e=代入①得
2-e2=2a2(1-e2),∴e2==1−(10分)
而2a∈[ |
作业帮用户
2017-11-15
- 问题解析
- 本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系及参数的求值问题,
(Ⅰ)通过直线与椭圆的位置关系,利用代入法求解相应的代数式的值; (Ⅱ)利用长轴长的取值范围,结合关系式与不等式的求解来确定离心率的取值范围.
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质.
-
- 考点点评:
- 本题是直线与圆锥曲线的综合问题.近年高考中圆锥曲线问题的解答难度有逐渐变低的趋势.通过解析几何自身的特点,结合相应的数学知识,比如不等式、数列、函数、向量、导数等,考查各知识点之间的综合应用,也是考查学生综合能力的一大考点.在新课标的高考中,圆锥曲线的考查以基础知识为主,难度不会太大.
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