（2013•晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点

Question

（2013•晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当m=3时，点B的坐标为______，点E的坐标为______；
（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如图，若点E的纵坐标为-1，抛物线y＝ax2−4√(5)ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．

Answer 1

（1）点B的坐标为（3，4），
∵AB=BD=3，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
则∠DAE=∠BAD=45°，
则E在y轴上．
AE=AB=BD=3，
∴四边形ABDE是正方形，OE=1，
则点E的坐标为（0，1）；

（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4-1=3，AE=AB=OC=m，
如图1，假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由
勾股定理可得EC＝√(DE2−CD2)＝√(32−12)＝2√(2)，
则有OE＝OC−CE＝m−2√(2)，
在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²
即42+(m−2√(2))2＝m2
解得m＝3√(2)…（7分）

（3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得DP＝√(DE2−EP2)＝

作业帮用户 2016-11-23

问题解析

（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．

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