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设y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程的通解
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设y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程的通解
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答案和解析
代入y=e^x,得xe^x+p(x)e^x=x,即：p(x)=x(e^(-x)-1)；
代回微分方程xy'+p(x)y=x；得：y'+(e^(-x)-1)y=1；
取y=(q+1)e^x,代入得：(q+1)e^x+q'e^x+q+1-(q+1)e^x=1,
即：q'e^x+q=0；
解得：q=Ae^(e^(-x)),
故： y=(Ae^(e^(-x))+1)e^x；
代回微分方程xy'+p(x)y=x；得：y'+(e^(-x)-1)y=1；
取y=(q+1)e^x,代入得：(q+1)e^x+q'e^x+q+1-(q+1)e^x=1,
即：q'e^x+q=0；
解得：q=Ae^(e^(-x)),
故： y=(Ae^(e^(-x))+1)e^x；
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