如图1、2是两个相似比为1:根号2的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜如图1、2是两个相似比为1:的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大

Question

如图1、2是两个相似比为1:根号2 的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜
如图1、2是两个相似比为1: 的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.
若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别于AB交与点E、F,如图5,此时结论AE 平方+BF 平方= EF平方 是否仍然成立?若成立,请给予证明；

Answer 1

（1）在图4中,由于AD=BD,将△AED绕点D旋转180°,得△BE′D,AE=BE′、

\x09ED=E′D  …………………2分

\x09    连结E′F  ∵∠FBE′=∠ABC＋∠ABE′=∠ABC+∠CAB=90°

\x09∴在Rt△BE′F中有E′B2＋BF2=E′F2

\x09又∵FD垂直平分EE′

\x09∴EF=FE′∴代换得AE2＋BF2=EF2 …………………4分

(2)在图（5）中,由于AC=BC,将△AEC绕点C旋转

\x0990°,得△BE′C,AE=BE′、CE=CE′  …………………6分

\x09 连结E′F  ∵∠FBE′=∠ABC＋∠CBE′=∠ABC+∠CAB=90°

\x09∴在Rt△BE′F中有E′B2＋BF2=E′F2

\x09又可证△CEF≌△CE′F 得EF=FE′

\x09∴代换得AE2＋BF2=EF2 …………………8分