如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=2，BF=CF=5，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面

Question

如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=√(2)，BF=CF=√(5)，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．
（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；
结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；
结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．
（2）若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°，求三棱锥E-BCF的体积．

Answer 1

证明：（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，
同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，
则EP⊥平面ABCD，FQ⊥平面ABCD，
∴平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，
又MN⊂平面ABCD，MN⊂平面EMP，MN⊂平面FNQ，
由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，
得到E、F、M、N四点共面．
（2）∵二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°，
∴∠EMP=∠FNQ=60°，∴EP=EM•sin60°=(√(3))/(2)，
∴三棱锥E-BCF的体积：
V_E-BCF=V_ABCDEF-V_E-ABCD
=2×(1)/(3)×((1)/(2)×2)×(√(3))/(2)+（(1)/(2)×(√(3))/(2)×2）×3-(1)/(3)×(4×2)×(√(3))/(2)=(√(3))/(2)．