如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE的垂直平分线FM交AB的延长线于F，交BC于P，连接EF，交BC于G，求EP：PC的值．

Question

如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE的垂直平分线FM交AB的延长线于F，交BC于P，连接EF，交BC于G，求EP：PC的值．

Answer 1

设正方形ABCD的边长是2x，则AD=AB=CD=BC=2x，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=x，
∵正方形ABCD，
∴∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AE=

AD 2 + DE 2

=

5

x，
∵AB ∥ CD，
∴∠FAE=∠DEA，
∵AE的垂直平分线FM，
∴AM=ME= (1)/(2) AE= (5)/(2) x，∠AMF=∠D=90°，
∴△FMA ∽ △ADE，
∴ (AF)/(AE) = (AM)/(DE) ，
∴AF= (5)/(2) x，
由勾股定理得：FM=

AF 2 - AM 2

=

5

x，
∴BF=AF-AB= (1)/(2) x，
∵正方形ABCD，AE的垂直平分线FM，
∴∠FBP=∠FMA=90°，
∵∠PFB=∠AFM，
∴△PFB ∽ △AFM，
∴ (BP)/(AM) = (BF)/(FM) ，
∴BP= (1)/(4) x，
∴CP=2x- (1)/(4) x= (7)/(4) x，
由勾股定理得：EP=

CP 2 + CE 2

= (65)/(4) x，
∴EP：PC的值是 (65)/(7) ．
答：EP：PC的值是 (65)/(7) ．