有没有单位圆上不是单位根的代数整数的例子?复数域中的代数整数是最高次项系数为1的整系数多项式的根.n次单位根是满足x^n=1的复数,当然也是代数整数,而且落在单位圆上.有个定理说如果

Question

有没有单位圆上不是单位根的代数整数的例子?
复数域中的代数整数是最高次项系数为1的整系数多项式的根.
n次单位根是满足x^n=1的复数,当然也是代数整数,而且落在单位圆上.
有个定理说如果一个代数整数和它所有的共轭根都落在单位圆上,那么它是一个单位根.
代数整的条件是关键的,否则(3+4i)/5之类的勾股数就是反例.
现在问如果没有共轭根的条件是不是就有反例了呢?

Answer 1

x^4−2x^3−2x+1=[x^2-(1+3^{1/2})x+1][x^2-(1-3^{1/2})x+1]
两个实根不在单位圆上,两个虚根在单位圆上,但不是单位根,因为其极小多项式不是分圆多项式