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已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减区间是(-2,2).(1)试求m、n的值;(2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程;(3)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存
题目详情
已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减区间是(-2,2).
(1)试求m、n的值;
(2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程;
(3)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)试求m、n的值;
(2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程;
(3)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知:f'(x)=3mx2+4nx-12<0的解集为(-2,2),
所以,-2和2为方程3mx2+4nx-12=0的根,(2分)
由韦达定理知0=-
,-4=
,即m=1,n=0.(4分)
(2)∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12,∵f(1)=13-12•1=-11
当A为切点时,切线的斜率k=f'(1)=3-12=-9,
∴切线为y+11=-9(x-1),即9x+y+2=0;(6分)
当A不为切点时,设切点为P(x0,f(x0)),这时切线的斜率是k=f'(x0)=3x02-12,
切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),即y=3(x02-4)x-2x03
因为过点A(1,-11),-11=3(x02-4)-2x03,∴2x03-3x02+1=0,(x0-1)2(2x0+1)=0,
∴x0=1或x0=-
,而x0=1为A点,即另一个切点为P(-
,
),
∴k=f′(-
)=3×
-12=-
,
切线方程为y+11=-
(x-1),即45x+4y-1=0(8分)
所以,过点A(1,-11)的切线为9x+y+2=0或45x+4y-1=0.(9分)
(3)存在满足条件的三条切线.(10分)
设点P(x0,f(x0))是过点A的直线与曲线f(x)=x3-12x的切点,
则在P点处的切线的方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)即y=3(x02-4)x-2x03
因为其过点A(1,t),所以,t=3(x02-4)-2x03=-2x03+3x02-12,
由于有三条切线,所以方程应有3个实根,(11分)
设g(x)=2x3-3x2+t+12,只要使曲线有3个零点即可.
设g'(x)=6x2-6x=0,∴x=0或x=1分别为g(x)的极值点,
当x∈(-∞,0)和(1,+∞)时g'(x)>0,g(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上单增,
当x∈(0,1)时g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单减,
所以,x=0为极大值点,x=1为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点,当且仅当
即
,
解得-12<t<-11.(14分)
所以,-2和2为方程3mx2+4nx-12=0的根,(2分)
由韦达定理知0=-
4n |
3m |
-12 |
3m |
(2)∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12,∵f(1)=13-12•1=-11
当A为切点时,切线的斜率k=f'(1)=3-12=-9,
∴切线为y+11=-9(x-1),即9x+y+2=0;(6分)
当A不为切点时,设切点为P(x0,f(x0)),这时切线的斜率是k=f'(x0)=3x02-12,
切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),即y=3(x02-4)x-2x03
因为过点A(1,-11),-11=3(x02-4)-2x03,∴2x03-3x02+1=0,(x0-1)2(2x0+1)=0,
∴x0=1或x0=-
1 |
2 |
1 |
2 |
47 |
8 |
∴k=f′(-
1 |
2 |
1 |
4 |
45 |
4 |
切线方程为y+11=-
45 |
4 |
所以,过点A(1,-11)的切线为9x+y+2=0或45x+4y-1=0.(9分)
(3)存在满足条件的三条切线.(10分)
设点P(x0,f(x0))是过点A的直线与曲线f(x)=x3-12x的切点,
则在P点处的切线的方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)即y=3(x02-4)x-2x03
因为其过点A(1,t),所以,t=3(x02-4)-2x03=-2x03+3x02-12,
由于有三条切线,所以方程应有3个实根,(11分)
设g(x)=2x3-3x2+t+12,只要使曲线有3个零点即可.
设g'(x)=6x2-6x=0,∴x=0或x=1分别为g(x)的极值点,
当x∈(-∞,0)和(1,+∞)时g'(x)>0,g(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上单增,
当x∈(0,1)时g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单减,
所以,x=0为极大值点,x=1为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点,当且仅当
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解得-12<t<-11.(14分)
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