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已知椭圆x^2+8y^2=8,在椭圆上求一点p,使得p到直线l:x-y-4=0的距离最小,并求出最小值
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已知椭圆x^2+8y^2=8,在椭圆上求一点p,使得p到直线l:x-y-4=0的距离最小,并求出最小值
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答案和解析
解:用平行于已知直线的平行直线束去和已知椭圆相截:设直线束方程:y=x+k代入椭圆方程:x^2+8(x+k)^2=89x^2+16kx+8k^2-8=0Δ=256k^2-36×8(k^2-1)=288-32k^2=0k^2=9,k=±3(相切时)作图如下:紫色的是两条边界直线(相切的情况),平行直线束在这两条直线之间移动时可以遍历椭圆上所有的点故只需计算离已知直线最近的且与椭圆相切的直线到已知直线的距离即为最小距离dmin=|4-3|/√2=√2/2此时P点坐标即为直线y=x-3与椭圆切点的坐标P(8/3,-1/3)
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