已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0．m∈R．求证：（1）不论m取何值，圆心在同一条直线l上；（2）与l平行的直线被圆所截得的线段长与m无关．

Question

已知圆x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0．m∈R．求证：
（1）不论m取何值，圆心在同一条直线l上；
（2）与l平行的直线被圆所截得的线段长与m无关．

Answer 1

证明：（1）圆的方程可化为：（x-3m）²+（y-m+1）²=25，圆心为（3m，m-1），r=5，
设x=3m，y=m-1，则x=3（y+1），即x-3y-3=0
∴无论m为何值，圆心都在同一直线l上，方程为x-3y-3=0；
（2）设直线x-3y+n=0
∴d=(|3m−3(m−1)+n|)/(√(10))=(|3+n|)/(√(10))
∴弦长=2√(25−d2)=2√(25−((3+n)2)/(10))与m无关
∴与l平行的直线被圆所截得的线段长与m无关．