设A=（α1，α2，…，αm），其中αi（i=1，2，…，m）为n维列向量，已知对任意不全为零的x1，x2，…，xm，都有x1α1+x2α2+…+xmαm≠0，则必有（）A．m＞nB．α1，α2，…，αm线性相关C．存在m

Question

设A=（α₁，α₂，…，α_m），其中α_i（i=1，2，…，m）为n维列向量，已知对任意不全为零的x₁，x₂，…，x_m，都有x₁α₁+x₂α₂+…+x_mα_m≠0，则必有（　　）

A．m＞n
B．α₁，α₂，…，α_m线性相关
C．存在m阶可逆阵P，使得AP=

E

0

D．若B满足AB=0，则B=0

Answer 1

由题意可知，已知对任意不全为零的x₁，x₂，…，x_m，都有x₁α₁+x₂α₂+…+x_mα_m≠0，
故矩阵A的秩为m，即r（A）=m，
所以α₁，α₂，…，α_m线性不相关，排除（B）；
若m＞n，则矩阵A的秩为n，且必有m≤n，故排除（A）；
若B满足AB=0，可知|AB|=0，由于|A|≠0，则|B|=0，不能退出B=0，故排除（D）；
A的秩为m，经初等行变换化为行最简形的形式 就应该是：

E

O

故存在m阶可逆阵P，使得AP=

E

0

，故（C）正确，
故选择：C．