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如图,在?ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,作∠BAD和∠BCD的平分线,分别交BD于点G、H,延长AG交BC于点E,延长CH交AD于点F.(1)求证:△ABG≌△CDH;(2)若∠BAE=2∠EAC,试判断四边形AE
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如图,在?ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,作∠BAD和∠BCD的平分线,分别交BD于点G、H,延长AG交BC于点E,延长CH交AD于点F.
(1)求证:△ABG≌△CDH;
(2)若∠BAE=2∠EAC,试判断四边形AECF是怎样的特殊四边形,并加以证明.
(1)求证:△ABG≌△CDH;
(2)若∠BAE=2∠EAC,试判断四边形AECF是怎样的特殊四边形,并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
考点:
平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质
专题:
分析:
(1)由在?ABCD中,可得AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,又由对角线AC、BD相交于点O,作∠BAD和∠BCD的平分线,分别交BD于点G、H,延长AG交BC于点E,延长CH交AD于点F,可得∠BAG=∠DCH,则可证得:△ABG≌△CDH;(2)易证得△ABE≌△CDF(ASA),继而可得四边形AECF是平行四边形,然后由∠BAE=2∠EAC,可得∠EAC=∠CAF,继而证得AE=CE,则可得四边形AECF是菱形.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∴∠ABG=∠CDH,∵AG,CH分别是∠BAD和∠BCD的平分线,∴∠BAG=12∠BAD,∠DCH=12∠BCD,∴∠BAG=∠DCH,在△ABG和△CDH中,∠BAG=∠DCHAB=CD∠ABG=∠CDH,∴△ABG≌△CDH(ASA);(2)四边形AECF是菱形.理由:∵AG平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∵∠BAE=2∠EAC,∴∠DAE=2∠EAC,∴∠EAC=∠FAC,在△ABE和△CDF中,∠BAG=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA),∴BE=DF,∵?ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∴AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形,∴∠ACE=∠CAF,∴∠ACE=∠CAE,∴AE=EC,∴四边形AECF是菱形.
点评:
此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
考点:
平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质
专题:
分析:
(1)由在?ABCD中,可得AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,又由对角线AC、BD相交于点O,作∠BAD和∠BCD的平分线,分别交BD于点G、H,延长AG交BC于点E,延长CH交AD于点F,可得∠BAG=∠DCH,则可证得:△ABG≌△CDH;(2)易证得△ABE≌△CDF(ASA),继而可得四边形AECF是平行四边形,然后由∠BAE=2∠EAC,可得∠EAC=∠CAF,继而证得AE=CE,则可得四边形AECF是菱形.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∴∠ABG=∠CDH,∵AG,CH分别是∠BAD和∠BCD的平分线,∴∠BAG=12∠BAD,∠DCH=12∠BCD,∴∠BAG=∠DCH,在△ABG和△CDH中,∠BAG=∠DCHAB=CD∠ABG=∠CDH,∴△ABG≌△CDH(ASA);(2)四边形AECF是菱形.理由:∵AG平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∵∠BAE=2∠EAC,∴∠DAE=2∠EAC,∴∠EAC=∠FAC,在△ABE和△CDF中,∠BAG=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA),∴BE=DF,∵?ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∴AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形,∴∠ACE=∠CAF,∴∠ACE=∠CAE,∴AE=EC,∴四边形AECF是菱形.
点评:
此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
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