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如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④∠GAE=45°;⑤S△FGC=3.6.则正确结论
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如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:
①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④∠GAE=45°;⑤S△FGC=3.6.
则正确结论的个数有( )
A.2
B.3
C.4
D.5
①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④∠GAE=45°;⑤S△FGC=3.6.
则正确结论的个数有( )
A.2
B.3
C.4
D.5
▼优质解答
答案和解析
∵正方形ABCD中,AB=6,
∴AD=CD=BC=6,
∵CD=3DE,
∴CD=2,DE=4,
∵△ADE沿AE对折至△AFE,
∴AF=AD=6,ED=EF=2,∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFG=90°,
在Rt△ABG和Rt△AFG中
,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),所以①正确;
∴BG=FG,
设BG=x,则GF=x,CG=6-x,
在Rt△CGE中,GE=GF+EF=x+2,CE=4,CG=x,
∵CG2+CE2=GE2,
∴x2+42=(x+2)2,解得x=3,
∴BG=3,
∴CG=BC-BG=3,
∴BG=CG,所以②正确;
∵GF=CG=3,
∴∠GFC=∠GCF,
而∠BGF=∠GFC+∠GCF,
∴∠BGF=2∠GCF,
∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴∠BGA=∠FGA,
∴∠BGF=2∠BGA,
∴∠BGA=∠GCF,
∴AG∥CF,所以③正确;
∵△ADE沿AE对折至△AFE,
∴∠DAE=∠FAE,
∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴∠BAG=∠FAG,
∴∠EAF+∠GAF=
(∠DAF+∠BAF)=
×90°=45°,
即∠GAE=45°,所以④正确;
作FH⊥GC于H,如图,
∴FH∥EC,
∴△GFH∽△GEC,
∴
=
,即
=
,解得FH=
,
∴S△GCF=
×3×
=3.6,所以⑤正确.
故选D.
∴AD=CD=BC=6,
∵CD=3DE,
∴CD=2,DE=4,
∵△ADE沿AE对折至△AFE,
∴AF=AD=6,ED=EF=2,∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFG=90°,
在Rt△ABG和Rt△AFG中
|
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),所以①正确;
∴BG=FG,
设BG=x,则GF=x,CG=6-x,
在Rt△CGE中,GE=GF+EF=x+2,CE=4,CG=x,
∵CG2+CE2=GE2,
∴x2+42=(x+2)2,解得x=3,
∴BG=3,
∴CG=BC-BG=3,
∴BG=CG,所以②正确;
∵GF=CG=3,
∴∠GFC=∠GCF,
而∠BGF=∠GFC+∠GCF,
∴∠BGF=2∠GCF,
∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴∠BGA=∠FGA,
∴∠BGF=2∠BGA,
∴∠BGA=∠GCF,
∴AG∥CF,所以③正确;
∵△ADE沿AE对折至△AFE,
∴∠DAE=∠FAE,
∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴∠BAG=∠FAG,
∴∠EAF+∠GAF=
1 |
2 |
1 |
2 |
即∠GAE=45°,所以④正确;
作FH⊥GC于H,如图,
∴FH∥EC,
∴△GFH∽△GEC,
∴
FH |
EC |
GF |
GE |
FH |
4 |
3 |
5 |
12 |
5 |
∴S△GCF=
1 |
2 |
12 |
5 |
故选D.
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